题目描述:拉格朗日四平方和定理:每一个非负整数都可以表示成四个非负整数的平方和。例如 5 = 0^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2给定一个正整数n请你将n拆成 a^2+b^2+c^2+d^2问 a+b+c+d最小是多少。 输入格式:一个正整数表示 n。 输出格式:一个正整数表示答案。 样例输入1:4样例输出1:2 约定:1=n=90000

题目描述:拉格朗日四平方和定理:每一个非负整数都可以表示成四个非负整数的平方和。例如 5 = 0^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2给定一个正整数n请你将n拆成 a^2+b^2+c^2+d^2问 a+b+c+d最小是多少。 输入格式:一个正整数表示 n。 输出格式:一个正整数表示答案。 样例输入1:4样例输出1:2 约定:1=n=90000
解题思路:

根据拉格朗日四平方和定理,任意一个非负整数都可以表示成四个非负整数的平方和。

要使a+b+c+d最小,可以考虑将n拆分成尽可能多的完全平方数。

首先,可以先找到n以内的所有完全平方数。可以通过循环i从0开始,计算i的平方,并将平方数存储在一个数组中。

然后,使用动态规划的思想来求解最小的a+b+c+d。

创建一个长度为n+1的数组dp,其中dp[i]表示拆分完全平方数和为i所需的最小个数。

初始时,将dp[0]设置为0,表示拆分和为0的完全平方数个数为0。

接下来,从1到n,遍历数组dp,对于每个i,遍历完全平方数数组,找到小于等于i的平方数j,并更新dp[i] = min(dp[i], dp[i-j]+1)。

最后,返回dp[n],即为答案。

代码实现如下:

import math

n = int(input())

# 找到n以内的所有完全平方数
squares = []
for i in range(int(math.sqrt(n)) + 1):
    squares.append(i*i)

# 动态规划求解最小的a+b+c+d
dp = [float('inf')] * (n + 1)
dp[0] = 0
for i in range(1, n + 1):
    for j in squares:
        if j > i:
            break
        dp[i] = min(dp[i], dp[i - j] + 1)

print(dp[n])

复杂度分析:

对于给定的n,需要计算n以内的所有完全平方数,时间复杂度为O(sqrt(n))。

然后,使用动态规划的思想求解最小的a+b+c+d,需要遍历n次,每次遍历完全平方数数组,时间复杂度为O(sqrt(n))。

因此,总的时间复杂度为O(sqrt(n))。

空间复杂度为O(n),需要创建一个长度为n+1的数组dp。