假设对于每一个 bAx = b 与 Cx = b 都有相同完整的解则 A 等于 C 是对的吗?

不一定。

如果对于每个 b,Ax = b 和 Cx = b 都有相同的解,那意味着矩阵 A 和矩阵 C 具有相同的解空间。这意味着它们的零空间(或核)相同,或者说它们的列空间相同。

但是,即使矩阵 A 和矩阵 C 具有相同的解空间,它们不一定相等。两个矩阵可以具有相同的零空间和列空间,但不同的行空间或不同的元素。

举个例子,考虑以下两个矩阵:

A = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 0]
C = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]

这两个矩阵都具有相同的解空间,因为它们的零空间都只包含零向量。对于任何向量 b,方程 Ax = b 和 Cx = b 都有唯一解 x = b。

但是,矩阵 A 和矩阵 C 并不相等,因为它们的元素不同。

因此,当对于每个 b,Ax = b 和 Cx = b 都有相同的解时,并不能推断出矩阵 A 等于矩阵 C。